6 مرحله + یافتن حداکثر یا حداقل مقدار یک تابع درجه دوم به راحتی 26 نکته
یک تابع درجه دوم یک معادله چند جمله ای درجه دو است، به این معنی که بالاترین توان متغیر (معمولا x) دو است. شکل کلی تابع درجه دوم به صورت زیر است:
f(x) = ax^2 + bx + c
که در آن a، b و c ثابت هستند و x متغیر است. برای یافتن حداکثر یا حداقل مقدار یک تابع درجه دوم، ابتدا باید مقادیر a، b و c را شناسایی کنیم.
مرحله ۲: تابع درجه دوم را فاکتور بگیرید (در صورت امکان)
اگر بتوان تابع درجه دوم را در حاصل ضرب دو دوجمله ای فاکتور گرفت، می توانیم از فاکتورگیری برای یافتن مقدار حداکثر یا حداقل استفاده کنیم. برای مثال، اگر تابع به صورت زیر در نظر گرفته شود:
f(x) = (x + 3) (x + 2)
ما می‌توانیم مقدار حداکثر یا حداقل را با قرار دادن هر عامل برابر با صفر و حل x پیدا کنیم:
x + 3 = 0 یا x + 2 = 0
با حل x به دست می آید:
x = -3 یا x = -2
حداکثر مقدار تابع مقدار x است که اولین عامل (x + 3) را برابر با صفر می کند که x = -3 است. حداقل مقدار تابع مقدار x است که عامل دوم (x + 2) را برابر با صفر می کند که x = -2 است.
مرحله 3: از فرمول درجه دوم استفاده کنید
اگر تابع درجه دوم را نمی توان فاکتور گرفت، می توانیم از فرمول درجه دوم برای یافتن مقدار حداکثر یا حداقل استفاده کنیم. فرمول درجه دوم:
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
که در آن a، b و c ضرایب تابع درجه دوم هستند. می توانیم از این فرمول برای یافتن مقادیر x که معادله را برآورده می کنند استفاده کنیم.
به عنوان مثال، اگر تابع درجه دوم با:
f(x) = x^2 + 4x + 4
ما می توانیم از فرمول درجه دوم برای یافتن مقدار حداکثر یا حداقل استفاده کنیم:
x = (-4 ± √(4^2 - 4(1)(4))) / 2(1)
x = (-4 ± √(16 - 16)) / 2
x = (-4 ± √0) / 2
x = -4/2
x = -2
حداکثر مقدار تابع 2- است که مقدار x معادله را برآورده می کند.
مرحله 4: حداکثر یا حداقل مقدار را شناسایی کنید
هنگامی که مقادیر x را یافتیم که معادله را برآورده می کند، باید مشخص کنیم که کدام مقدار حداکثر یا حداقل است. برای انجام این کار، می توانیم مقادیر x را با هم مقایسه کنیم تا ببینیم کدام یک بزرگتر یا کوچکتر از بقیه است.
به عنوان مثال، اگر متوجه شدیم که x = -2 مقداری است که معادله را برآورده می کند، می توانیم آن را با مقدار(های) دیگری که پیدا کرده ایم مقایسه کنیم تا ببینیم که حداکثر یا حداقل مقدار است. اگر x = -2 تنها مقداری است که ما پیدا کرده‌ایم، آنگاه هم مقدار حداکثر و هم حداقل است.
مرحله 5: علامت ضرایب را بررسی کنید
علامت ضرایب تابع درجه دوم نیز می‌تواند به ما در تعیین مقدار حداکثر یا حداقل کمک کند. اگر ضریب x^2 مثبت باشد، حداکثر مقدار مثبت و حداقل مقدار منفی خواهد بود. اگر ضریب x^2 منفی باشد، حداکثر مقدار منفی و مقدار حداقل مثبت خواهد بود.
به عنوان مثال، اگر تابع درجه دوم با:
f(x) = x^2 - 4x + 2
می بینیم که ضریب x^2 منفی است، بنابراین مقدار حداکثر منفی و مقدار حداقل مثبت خواهد بود.
مرحله ۶: از ابزار نموداری استفاده کنید
در نهایت، می‌توانیم از یک ابزار نموداری برای شناسایی بصری مقدار حداکثر یا حداقل یک تابع درجه دوم استفاده کنیم. با ترسیم نمودار تابع در یک صفحه مختصات، می توانیم شکل تابع را ببینیم و مقدار حداکثر یا حداقل را تشخیص دهیم.
به عنوان مثال، اگر تابع را نمودار کنیم:
f(x) = x^2 + 2x + 1
می بینیم که حداکثر مقدار در x = 1 و مقدار حداقل در x = -1 است.